似然函数

  • 更新时间: 2018-05-17
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例子

在数理统计学中,似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数,表示模型参数中的似然性似然函数统计推断中有重大作用,如在最大似然估计和费雪信息之中的应用等等。“似然性”与“或然性”或“概率”意思相近,都是指某种事件发生的可能性,但是在统计学中,“似然性”和“或然性”或“概率”又有明确的区分。概率用于在已知一些参数的情况下,预测接下来的观测所得到的结果,而似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时,对有关事物的性质的参数进行估计。

在这种意义上,似然函数可以理解为条件概率的逆反。在已知某个参数B时,事件A会发生的概率写作:

P(A∣B)=P(A,B)/P(B) 利用贝叶斯定理,P(B∣A)=P(A∣B)P(B)/P(A)

因此,我们可以反过来构造表示似然性的方法:已知有事件A发生,运用似然函数L(B∣A),我们估计参数B的可能性。形式上,似然函数也是一种条件概率函数,但我们关注的变量改变了:

b↦P(A∣B=b)

注意到这里并不要求似然函数满足归一性:似然函数,by 5lulu.com

一个似然函数乘以一个正的常数之后仍然是似然函数。对所有α>0{\displaystyle \alpha >0}0" />,都可以有似然函数

L(b∣A)=α   P(A∣B=b)

1 例子

似然函数,by 5lulu.com
两次投掷都正面朝上时的似然函数

考虑投掷一枚硬币的实验。通常来说,已知投出的硬币正面朝上和反面朝上的概率各自是pH=0.5,便可以知道投掷若干次后出现各种结果的可能性。比如说,投两次都是正面朝上的概率是0.25。用条件概率表示,就是:

P(HH∣pH=0.5)=0.52=0.25

其中H表示正面朝上。

统计学中,我们关心的是在已知一系列投掷的结果时,关于硬币投掷时正面朝上的可能性的信息。
我们可以建立一个统计模型:假设硬币投出时会有pH的概率正面朝上,而有1−pH的概率反面朝上。
这时,条件概率可以改写成似然函数

L(pH∣HH)=P(HH∣pH=0.5)=0.25

也就是说,对于取定的似然函数,在观测到两次投掷都是正面朝上时,pH=0.5似然性是0.25(这并不表示当观测到两次正面朝上时pH=0.5概率是0.25)。

如果考虑pH=0.6,那么似然函数的值也会改变。

L(pH∣HH)=P(HH∣pH=0.6)=0.36

注意到似然函数的值变大了。

似然函数,by 5lulu.com
三次投掷中头两次正面朝上,第三次反面朝上时的似然函数


这说明,如果参数pH的取值变成0.6的话,结果观测到连续两次正面朝上的概率要比假设pH=0.5时更大。也就是说,参数pH取成0.6要比取成0.5更有说服力,更为“合理”。总之,似然函数的重要性不是它的具体取值,而是当参数变化时函数到底变小还是变大。对同一个似然函数,如果存在一个参数值,使得它的函数值达到最大的话,那么这个值就是最为“合理”的参数值。

在这个例子中,似然函数实际上等于:

L(θ∣HH)=P(HH∣pH=θ)=θ2,其中0≤pH≤1

如果取pH=1,那么似然函数达到最大值1。也就是说,当连续观测到两次正面朝上时,假设硬币投掷时正面朝上的概率为1是最合理的。

类似地,如果观测到的是三次投掷硬币,头两次正面朝上,第三次反面朝上,那么似然函数将会是:

L(θ∣HHT)=P(HHT∣pH=θ)=θ2(1−θ),其中T表示反面朝上,0≤pH≤1

这时候,似然函数最大值将会在pH=2/3的时候取到。也就是说,当观测到三次投掷中前两次正面朝上而后一次反面朝上时,估计硬币投掷时正面朝上的概率pH=2/3是最合理的。



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