最大后验估计(MAP)

  • 更新时间: 2018-08-17
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     最大后验估计是根据经验数据获得对难以观察的量的点估计。与最大似然估计类似,但是最大的不同时,最大后验估计的融入了要估计量的先验分布在其中。故最大后验估计可以看做规则化的最大似然估计。

首先,我们回顾上篇文章中的最大似然估计,假设x为独立同分布的采样,θ为模型参数,f为我们所使用的模型。那么最大似然估计可以表示为:

最大后验估计(MAP),by 5lulu.com

现在,假设θ的先验分布为g。通过贝叶斯理论,对于θ的后验分布如下式所示:

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最后验分布的目标为:

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注:最大后验估计可以看做贝叶斯估计的一种特定形式。

举例来说:

假设有五个袋子,各袋中都有无限量的饼干(樱桃口味或柠檬口味),已知五个袋子中两种口味的比例分别是

樱桃 100%

樱桃 75% + 柠檬 25%

樱桃 50% + 柠檬 50%

樱桃 25% + 柠檬 75%

柠檬 100%

如果只有如上所述条件,那问从同一个袋子中连续拿到2个柠檬饼干,那么这个袋子最有可能是上述五个的哪一个?

我们首先采用最大似然估计来解这个问题,写出似然函数。假设从袋子中能拿出柠檬饼干的概率为p(我们通过这个概率p来确定是从哪个袋子中拿出来的),则似然函数可以写作

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由于p的取值是一个离散值,即上面描述中的0,25%,50%,75%,1。我们只需要评估一下这五个值哪个值使得似然函数最大即可,得到为袋子5。这里便是最大似然估计的结果。

上述最大似然估计有一个问题,就是没有考虑到模型本身的概率分布,下面我们扩展这个饼干的问题。

假设拿到袋子1或5的机率都是0.1,拿到2或4的机率都是0.2,拿到3的机率是0.4,那同样上述问题的答案呢?这个时候就变MAP了。我们根据公式

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写出我们的MAP函数。

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根据题意的描述可知,p的取值分别为0,25%,50%,75%,1,g的取值分别为0.1,0.2,0.4,0.2,0.1.分别计算出MAP函数的结果为:0,0.0125,0.125,0.28125,0.1.由上可知,通过MAP估计可得结果是从第四个袋子中取得的最高。

上述都是离散的变量,那么连续的变量呢?假设为独立同分布的,μ有一个先验的概率分布。那么我们想根据最大后验估计(MAP),by 5lulu.com来找到μ的最大后验概率。根据前面的描述,写出MAP函数为:

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此时我们在两边取对数可知。所求上式的最大值可以等同于求

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的最小值。求导可得所求的μ为

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以上便是对于连续变量的MAP求解的过程。

MAP中我们应注意的是:

MAPMLE最大区别是MAP中加入了模型参数本身的概率分布,或者说。MLE中认为模型参数本身的概率的是均匀的,即该概率为一个固定值。


标签: map 最大似然估计 概率

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