一维与二维随机变量的函数及其分布

  • 更新时间: 2018-01-16
  • 来源: 原创或网络
  • 浏览数: 44次
  • 字数: 16646
  • 发表评论

1 一维随机变量函数的分布

在解决实际问题时,经常要用到由一些随机变量经过运算后而得到的另外的随机变量,我们称之为随机变量函数。比如我们能测量圆轴截面的直径,而关心的却是截面面积A=。这里随机变量A是随机变量的函数。下面,我们主要讨论如何由已知的随机变量X的分布去求得它的函数Y=一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com的分布。

是一随机变量,是一个连续的实值函数,按照随机变量的定义,也应是一随机变量。下面我们通过的分布来研究随机变量一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com的分布。

关于该问题的一般提法:已知的分布,求一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com的分布。

(1) 一维离散型随机变量函数的分布

已知的分布列为 一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com的分布列。

由于是离散型随机变量,则一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com仍是离散型随机变量,所以分布列为

,若其中有某些一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com相等,则把相等的值分别合并,并相应地将其概率相加。

1 ,试求一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com的分布列。

解:易知一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com的可能取值为125,且可知

一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com

一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com

(2) 一维连续型随机变量函数的分布

引例:已知的密度函数为,求 的密度函数一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com

因为:

一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com

从而,其密度函数

一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com

一般地有如下定理:

定理1:设连续型随机变量的密度函数为,若是处处可导的函数,则一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com的密度函数为:

一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com

其中一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.comD为其定义域。(证明略)

2设连续型随机变量,试求的密度函数一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com

解:,由一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com,则由上述定理可知

一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com

2 维随机变量函数的分布

讨论了一维随机变量的函数一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com的概率分布,下面我们讨论二维随机变量之间的函数分布:

(1)二维离散型随机变量函数的分布

(X,Y)是二维离散型随机变量,其分布律为

一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com

①如果二元函数一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com连续,且对于不同的 有不同的函数值,Z=g(X,Y)是一维离散型随机变量,其分布律为

一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com

②若二元函数z = (一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com,y) 连续,对不同的有相同的值,Z=g(X,Y)取这些相同值的相应概率之和,作为Z取这一数值的概率.

(2)二维连续型随机变量函数的分布

(X,Y)是一维连续型随机变量,它的概率密度为f (,y)二无函数z=g(一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com,y)连续,Z=g(X,Y)是一维连续型随机变量,它的分布函数是:

一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com

例如,已知(X,Y)的联合概率密度为f (,y),Z=X+YZ的概率密度.

先求Z的分布函数,再求其概率密度.

一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com

由连续型随机变量分布函数与概率密度的关系,Z的概率密度为

一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com

同理,

一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com

特别当XY相互独立时,则有

一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com

3 将两封售投入3个编号为123的信箱,用XY分别表示投入第12号信箱的信的数目.求:

1)(XY)的联合分布律及分别关于XY的边缘分布律;判断XY是不独立?

2)随机变量Z=2X+YW=XY的分布律.

1)两封信的投法总数为32 = 9XY的可能取值都是012.于是

P{X=0Y=0}=P{X=0Y=1}=P{X=1Y=0}=P{X=1Y=1}=一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com.

P{X=1,Y=1}=P{X=2,Y=0}=P{X=0,Y=2}=一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com.

P{X=1,Y=2}=P{X=2,Y=1}=P{X=2,Y=2}=0

故所求的分布律

一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com

表中按行相加得到关于Y的边缘布(见表中最右边的一列);按列相加得到关于X的边缘分布(见表中最下边的一行).

因为P{X=0Y=0}=,而P{X=0}=P{Y=0}=一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com,所以

P{X=0Y=0}P{X=0}P{Y=0}.

XY不独立.

2)先求Z=2X+YW=XY的可能值.

一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com

由上表可知,Z和可能值为0123456;而W的可能值为0124.

P{Z=0}=P{X=0Y=0}=P{Z=1}=P{X=0Y=1}=一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com

P{Z=2}=P{X=1Y=0}+P{X=0Y=2}=P{Z=3}=P{X=1Y=1}=一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com

P{Z=4}=P{X=2Y=0}+P{X=1Y=2}=一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.comP{Z=5}=P{X=2Y=1}=0

P{Z=6}=P{X=2Y=2}=0

于是,Z的分布律为

4 设随机变量ξ一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com与η独立,分布密度分别为

一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com

求随机变量ζ=ξ+η的分布密度.

因为ξ与η相互独立,所以ζ=ξ+η的密度可由公式

一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com

求出.当z<0时,ζ=ξ+η的概率密度f一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com(z)=0.

当z≥0时,ζ=ξ+η的概率密度为

一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com

一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com

一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com,

故ζ=ξ+η的分布密度为

一维与二维随机变量的函数及其分布,by 5lulu.com
我来评分 :6
0

转载注明:转自5lulu技术库

本站遵循:署名-非商业性使用-禁止演绎 3.0 共享协议