对偶原理

  • 更新时间: 2016-10-09
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如果描述两种物理现象的方程具有相同数学形式,则他们解的数学形式也是相同的,这就是对偶原理(dual principle)。

1 物理中的对偶原理

例如,在电磁学中,均匀介质中的静电场与均匀导电媒质中的恒定电场有对偶关系,电位移矢量D与电流密度矢量J,电荷q与电流I对偶。

如果在导电媒质中的电流密度矢量与电介质中的电位移矢量处于相同的边界情况(边界形状、尺寸、相互位置及场源都相同)下,则介质中的静电场与均匀导电媒质中的恒定电场具有相同的电场分布,即两者等位面的分布一致,且线与线的分布也一致。由于这两种场的对偶性,通过对偶量的代换,就可以直接由静电场的解得到恒定电场的解,节省了计算量,反之亦然。

再如,电路中,电压源与电流源、短路与开路、串联与并联、电阻与电导、电容与电感,都存在对偶关系。在使用节点电压法和回路电流法时,不改变互为对偶的元件的值,将会得到形式完全一样的对偶方程,从而得到相同的一组解。

2 数学中的对偶原理

在射影平面上,如果在一个射影定理中把点与直线的观念对调,即把点改成直线,把直线改成点,把点的共线关系改成直线的共点关系,所得的命题仍然成立,这称为对偶原理。可以利用有心二次曲线的配极映射来完成。

例如,德沙格定理是有关点、直线以及它们的衔接关系的定理,它是一个射影定理。它的对偶定理就是它的逆定理。该原理也可推广到n维射影空间中去。

简言之,对偶,是大自然中最为广泛存在的,呈“分形”形态分布的一种结构规律,及任何系统往下和往上均可找出对偶二象的结构关系,且二象间具有完全性,互补性,对立统一性,稳定性,互涨性和互根性。

3 现代控制理论中的对偶原理

在自动控制论中,有时候需要研究系统的可控性和可观测性。利用对偶原理可以对研究系统方程带来很多方便。

自动控制域中的能控与能观的特点见相关章节,本例不在赘述

设系统为Sys1(A,B,C),则Sys2(AT,CT,BT)就是Sys1的对偶系统。其动态方程应该满足如下标准形式:

Sys1:x'=Ax+BUy=Cx

Sys2:z'=ATz+CTvw=BTz

其中 x,z是n维状态向量 u,w是p维向量;y,v均为q维向量。

显然,依据此定义,可以知道,若Sys1是Sys2的对偶系统,则Sys2也是Sys1的对偶系统。

两者间有如下特点:

Sys1的可控性矩阵与Sys2的可观测性矩阵完全相同,而Sys1的可观测性矩阵又与Sys2的可控性矩阵完全相同!

正因为如此简单的对偶关系,我们可以把可观测的单输入-单输出系统化为可观测标准型的问题 化为 将其对偶系统化为可控标准型的问题。设单输入-单输出系统的动态方程为:

x'=Ax+BUy=Cx

且该系统可观测,但A,C不是能观标准型。那么,其对偶系统动态方程为

z'=ATz+CTvw=BTz

对偶就一定可控,但不是可控标准型。解决办法是可以利用已知的,化为可控标准型的步骤,先将对偶系统化为可控标准型。再一次利用对偶原理,立即得到能观标准型。

具体解决步骤:

1列出对偶可控性矩阵

V2=[CTATCT... (AT)n-1CT ]

2求V2矩阵的逆阵

V2-1=[v1 v2 ... vn]T

3取V2-1第n行构造矩阵P

4依据对偶原理得:

PT=[VnAVn...An-1Vn]


标签: 矩阵 对偶

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