单位矩阵

  • 更新时间: 2018-06-12
  • 来源: 原创或网络
  • 浏览数: 13次
  • 字数: 4435
  • 发表评论

1 什么是单位矩阵

在线性代数中,n阶单位矩阵,是一个单位矩阵,by 5lulu.com的方形矩阵,其主对角线元素为1,其余元素为0。单位矩阵In表示;如果阶数可忽略,或可由前后文确定的话,也可简记为I。(在部分领域中,如量子力学,单位矩阵是以粗体字的1表示,否则无法与I作区别。)

单位矩阵,by 5lulu.com

一些数学书籍使用U和E(分别意为单位矩阵和基本矩阵),不过I更加普遍。

2 单位矩阵的性质

根据矩阵乘法的定义,单位矩阵In的重要性质为:

AIn = A InB = B

特别是单位矩阵作为所有n阶矩阵的环的单位,以及作为由所有n阶可逆矩阵构成的一般线性群GL(n)的单位元(单位矩阵明显可逆,单位矩阵乘自己,仍是单位矩阵)。

这些n阶矩阵经常表示来自n维矢量空间自己的线性变换In表示恒等函数,而不理会基。

单位矩阵中的第i列即为单位矢量ei。单位矢量同时也是单位矩阵的特征矢量,特征值皆为1,因此这是唯一的特征值,且具有重数n。由此可见,单位矩阵行列式为1,且迹数为n。

有时使用这个记法简洁的描述对角线矩阵,写作:

In = diag(1,1,...,1)

也可以克罗内克尔δ记法写作:

(In)ij = δij

3 单位矩阵的证明

单位矩阵E具有与数1类似的性质。

容易证明:

(1)单位矩阵,by 5lulu.com

(2)单位矩阵,by 5lulu.com

(3)AnEn = EnAn = An

(4)EE = E


标签: 矩阵 单位矩阵

我来评分 :6
0

转载注明:转自5lulu技术库

本站遵循:署名-非商业性使用-禁止演绎 3.0 共享协议