卷积运算

  • 更新时间: 2018-01-12
  • 来源: 原创或网络
  • 浏览数: 32次
  • 字数: 6304
  • 发表评论

从数学上讲,卷积就是一种运算。

某种运算,能被定义出来,至少有以下特征:

  • 首先是抽象的、符号化的
  • 其次,在生活、科研中,有着广泛的作用

比如加法:

  • a+b ,是抽象的,本身只是一个数学符号
  • 在现实中,有非常多的意义,比如增加、合成、旋转等等

卷积,是我们学习高等数学之后,新接触的一种运算,因为涉及到积分、级数,所以看起来觉得很复杂。

1 卷积的定义

我们称 (f*g)(n)为f,g的卷积

其连续的定义为:

卷积运算,by 5lulu.com

其离散的定义为:

卷积运算,by 5lulu.com

这两个式子有一个共同的特征:

卷积运算,by 5lulu.com

这个特征有什么意义?

我们令 卷积运算,by 5lulu.com ,那么 x+y = n 就是下面这些直线:

卷积运算,by 5lulu.com

如果遍历这些直线,就好比,把毛巾沿着角卷起来:

卷积运算,by 5lulu.com

此处受到 荆哲:卷积为什么叫「卷」积? 答案的启发。

只看数学符号,卷积是抽象的,不好理解的,但是,我们可以通过现实中的意义,来习惯卷积这种运算,正如我们小学的时候,学习加减乘除需要各种苹果、糖果来帮助我们习惯一样。

我们来看看现实中,这样的定义有什么意义。

2 离散卷积的例子:丢骰子

我有两枚骰子,把这两枚骰子都抛出去。

求:两枚骰子点数加起来为4的概率是多少?

这里问题的关键是,两个骰子加起来要等于4,这正是卷积的应用场景。

我们把骰子各个点数出现的概率表示出来:

卷积运算,by 5lulu.com

那么,两枚骰子点数加起来为4的情况有:

卷积运算,by 5lulu.com

卷积运算,by 5lulu.com

卷积运算,by 5lulu.com

因此,两枚骰子点数加起来为4的概率为:

f(1)g(3)+f(2)g(2)+f(3)g(1)

符合卷积的定义,把它写成标准的形式就是:

卷积运算,by 5lulu.com

3 连续卷积的例子:做馒头

楼下早点铺子生意太好了,供不应求,就买了一台机器,不断的生产馒头。

假设馒头的生产速度是 f(t) ,那么一天后生产出来的馒头总量为:

卷积运算,by 5lulu.com

馒头生产出来之后,就会慢慢腐败,假设腐败函数为 g(t)

想想就知道,第一个小时生产出来的馒头,一天后会经历24小时的腐败,第二个小时生产出来的馒头,一天后会经历23小时的腐败。

如此,我们可以知道,一天后,馒头总共腐败了:

卷积运算,by 5lulu.com

这就是连续的卷积。

4 图像处理

原理

有这么一副图像,可以看到,图像上有很多噪点:

卷积运算,by 5lulu.com

高频信号,就好像平地耸立的山峰:

卷积运算,by 5lulu.com

看起来很显眼。

平滑这座山峰的办法之一就是,把山峰刨掉一些土,填到山峰周围去。用数学的话来说,就是把山峰周围的高度平均一下。

平滑后得到:

卷积运算,by 5lulu.com

计算

卷积可以帮助实现这个平滑算法。

有噪点的原图,可以把它转为一个矩阵:

卷积运算,by 5lulu.com

然后用下面这个平均矩阵(说明下,原图的处理实际上用的是正态分布矩阵,这里为了简单,就用了算术平均矩阵)来平滑图像:

卷积运算,by 5lulu.com

记得刚才说过的算法,把高频信号与周围的数值平均一下就可以平滑山峰。

比如我要平滑 a1,1 点,就在矩阵中,取出a1,1点附近的点组成矩阵 f ,和 g 进行卷积计算后,再填回去:

卷积运算,by 5lulu.com

要注意一点,为了运用卷积, 虽然和 同维度,但下标有点不一样:

卷积运算,by 5lulu.com

我用一个动图来说明下计算过程:

卷积运算,by 5lulu.com

写成卷积公式就是:

卷积运算,by 5lulu.com

这样相当于实现了 这个矩阵在原来图像上的划动(准确来说,下面这幅图把 矩阵旋转了 ):

卷积运算,by 5lulu.com


标签: 卷积 矩阵 数学

我来评分 :6
0

转载注明:转自5lulu技术库

本站遵循:署名-非商业性使用-禁止演绎 3.0 共享协议