测度论

  • 更新时间: 2018-01-11
  • 来源: 原创或网络
  • 浏览数: 30次
  • 字数: 10642
  • 发表评论
测度论是研究一般集合上的测度和积分的理论。它是勒贝格测度和勒贝格积分理论的进一步抽象和发展,又称为抽象测度论或抽象积分论,是现代分析数学中重要工具之一。 测度理论是实变函数论的基础。

1 定义

测度理论是实变函数论的基础。所谓测度,通俗的讲就是测量几何区域的尺度。 我们知道直线上的闭区间的测度就是通常的线段长度; 平面上一个闭圆盘的测度就是它的面积。

2 形成意义

定理的形成

纵观勒贝格积分和勒贝格-斯蒂尔杰斯积分理论,不难发现它们都有三个基本要

第一,一个基本空间(即n欧几里得空间R)以及这个空间的某些子集构成的集类即L(勒贝格)可测集或某LS(勒贝格-斯蒂尔杰斯)可测集全体,这个集类对集的代数运算和极限运算封闭。

第二,一个与这个集类有关的函数类(即L可测函数或某L-S可测函数全体)。

第三,一个与上述集类有关的测度(即L测度或某L-S测度)。

在三个要素的基础上,它们都是运用完全类似的定义和推理过程获得完全类似的一整套测度、可测函数、积分的定理(见勒贝格积分、贝尔函数)。测度论正是基于这些基本共同点所形成一般理论。

意义

对于更一般的集合,我们能不能定义测度呢? 比如直线上所有有理数构成的集合,它的测度怎么衡量呢?

一个简单的办法, 就是先在每个有理点上找一个开区间覆盖它,就好比给它带个“帽子”。因为有理数集是可列集(就是可以像排自然一样排好队,一个个数出来,也叫可数集,见集合论),所以我们可以让第n个有理数上盖的开区间长度是第一个有理数(比方是1)上盖的开区间长度的2^n分之一。 这样所有那些开区间的长度之和是个有限值(就是1上的开区间长度的2倍)。

我们让1上的开区间逐渐缩小趋向于一个点,那么所有区间的总长度也相应缩小,趋向于长度0。 这样我们就说有理数集的测度是0。 用上面这种方法定义的测度也叫外测度。

一个几何区域有了测度,我们就可以定义上面的函数的积分,这是推广的黎曼积分

比如实数上的狄利克雷函数D(x)=1(如果x是有理数),0(如果x是无理数)。 如果按照通常的理解,我们发现狄利克雷函数在整个数轴上的定积分不存在;但是按照上面讲的有理数的测度,我们就可以求出它的定积分是0。

实直线上的测度如下给出:

设E是实数集,考虑可数个区间(aj,bj)满足对任何x∈E,都有某个j,使得x∈(aj,bj);考虑所有情形下和(b1-a1)+(b2-a2)+..的下确界称为E的外测度

如果对任何集合F都有E∩F和F\E的外测度之和等于F的外测度,称E可测,定义其测度等于外测度

直观含义上面已经解释过了

数学定义

测度的相关数学定义:

集函数:设Ψ是上的非空集合类。若对于每一个A∈Ψ,都有一个实数或者±∞之一与之对应(为确定起见,下面假定只取+∞),记为φ(A),且至少有一个A∈Ψ,使得φ(A)取有限值,称φ(A)为定义在Ψ上的集函数。

(1)若对任意的正整数n以及任意的Ai∈Ψ,i=1,2……,n,Ai∩Aj=O;(i≠j),且(A1∪A2∪…Ai∪…An)∈Ψ,有:

φ(A1∪A2∪…Ai∪…An)=∑[φ(A1)∪φ(A2)∪…φ(Ai)∪…φ(An)],[1]

则称φ在Ψ上具有有限可加性,也称φ是Ψ上的有限可加集函数。

(2)若对可列集的Ai∈Ψ,i=1,2……,n,Ai∩Aj=O;(i≠j),且(A1∪A2∪…Ai∪…A)∈Ψ,有

φ(A1∪A2∪…Ai∪…A)=∑[φ(A1)∪φ(A2)∪…φ(Ai)∪…φ(A)],

则称φ在Ψ上具有完全可加性或者б-可加性,也称φ是Ψ上的б-可加集函数或者广义测度。

(3)若对每一个A∈Ψ,φ(A)都取有限值,则称φ为上的有限集函数。如果对每一个A∈Ψ,存在一个集合序列⊂Ψ,使得

A⊂(A1∪A2∪…Ai∪…A),φ(An)<+∞,n=1,2,……

则称φ是Ψ上的б-有限集函数。

(4)若集函数为有限可加且只取非负值则称为有限可加测度。若集函数为б-可加,且只取非负值,则称为测度,用μ或ν表示。具有性质Ω∈Ψ且ν(Ω)=1的测度,称为概率测度或者简称概率,一般用P表示。

3 发展历程

若尔当(Jordan,M.E.C.)于1892年在R中发展了佩亚诺可测集的概念。原来定义外测度时,要用多边形去覆盖点集,他规范为用有限个开区间去覆盖,其余不变。若尔当的改进使测度概念前进了一大步,蕴涵了勒贝格测度的萌芽,但仍有明显的缺点。主要是它仍只具有有限可加性,从而导致有些简单的点集也不可测。例如,令A=[0,1]∩Q,则A的若尔当内测度为0,而外测度为1,因而A在若尔当意义下不可测。总之,若尔当测度只适合于黎曼积分的需要。波莱尔(Borel,(F.-É.-J.-)É.)于1898年,先由开集经过可列并与余的运算导致一类集,即所谓波莱尔集类。再对每个有界波莱尔集对应一个实数,即波莱尔测度,并使得这种测度具有可列可加性。波莱尔的这种思想对测度理论做出了重大贡献,成为近代测度论中用公理方式引出σ代数概念的起源,并为勒贝格(Lebesgue,H.L.)的工作开辟了道路.波莱尔的学生勒贝格在前人工作的基础上,于1902年以更一般的形式建立起比较完善的测度理论.他在定义点集测度的方法上,容许可列覆盖,使所建立的测度具有可列可加性,并且相当广泛的一类点集的测度有了定义。勒贝格测度是现代抽象测度的起源,在它的基础上建立的勒贝格积分,是现代分析中应用最广和意义重大的积分。卡拉西奥多里(Carathéodory,C.)于1914年发展了外测度理论,对测度进行了公理化研究,并给出了测度扩张的典型方法,成为近代测度论的基础.拉东(Radon,J.)、萨克斯(Saks,S.)、弗雷歇(Fréchet,M.-R.)以及另外一些人考虑了一般集合上的测度以及测度空间的乘积,并建立了一般可测集上积分的理论。

一般集合上的测度和积分理论是最广泛的测度理论,但为适应各方面的需要,还出现了其他种种特殊的测度和积分.例如,20世纪30年代初,伴随着人们对取值于巴拿赫空间的函数性质特别是可微性和可积性的研究,出现了有关向量值测度的一些工作。1960年以后,向量值测度理论得到蓬勃发展,并逐渐趋于完善。又如,19世纪建立的傅里叶分析理论,对于应用数学而言,当时已是令人满意的数学工具,但由于黎曼积分的局限性,对于函数与展开式之间的关系,直到勒贝格积分理论确立之后才有深刻的揭示.勒贝格积分的出现对于傅里叶展开的研究显然促进了一大步,但依旧显示出了它的局限性。研究拓扑群上的测度是建立群上傅里叶分析的基本问题之一,这个问题自1930年以来,经过哈尔(Haar,A.)、韦伊(Weil,A.)和盖尔范德(Гельфанд,И.М.)等人的工作而趋于完善。再如,20世纪初测度论的建立,使得人们对R中的子集关于n维勒贝格测度的性质有了很好的了解。但在处理与R中低维点集有关的数学问题时遇到了困难。在这种背景下,20世纪20年代出现了几何测度论,它是研究高维空间中低维点集的测度及低维点集上积分的理论。

测度概念与积分概念紧密相关。每一种测度理论的推广都可导致一种积分理论的推广.测度理论不仅是积分理论的基础,而且在现代分析以及概率论等许多数学领域中也有着广泛的应用。


标签: 积分

我来评分 :6
0

转载注明:转自5lulu技术库

本站遵循:署名-非商业性使用-禁止演绎 3.0 共享协议