Gamma 函数

  • 更新时间: 2018-01-15
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1 函数简介

伽玛函数(Gamma Function)作为阶乘的延拓,是定义在复数范围内的亚纯函数,通常写成Γ(x)。

(1)在实数域上伽玛函数定义为:

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(2)在复数域上伽玛函数定义为:

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其中Gamma 函数,by 5lulu.com,此定义可以用解析开拓原理拓展到整个复数域上,非正整数除外。


(3)除了以上定义之外,伽马函数公式还有另外一个写法:

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我们都知道是一个常用积分结果,公式(3)可以用Gamma 函数,by 5lulu.com 来验证。

(4)伽马函数还可以定义为无穷乘积:

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2 历史背景

1728年,哥德巴赫在考虑数列插值的问题,通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合,例如数列1,4,9,16.....可以用通项公式n2自然的表达,即便 n 为实数的时候,这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x2通过所有的整数点(n,n2),从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列

1,2,6,24,120,...,我们可以计算2!,3!,是否可以计算2.5!呢?我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上,确实可以看到,容易画出一条通过这些点的平滑曲线。

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但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题,于是写信请教尼古拉斯·伯努利和他的弟弟丹尼尔·伯努利,由于欧拉当时和丹尼尔·伯努利在一块,他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729 年完美地解决了这个问题,由此导致了伽玛 函数的诞生,当时欧拉只有22岁。

3 函数性质

1、通过分部积分的方法,可以推导出这个函数有如下的递归性质:

Γ(x+1)=xΓ(x)

于是很容易证明,伽马函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓,对于正整数n,具有如下性质:

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2、与贝塔函数的关系:

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3、在概率的研究中有一个重要的分布叫做伽玛分布

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其中X>0。

4、对Gamma 函数,by 5lulu.com,有

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这个公式称为余元公式

由此可以推出以下重要的概率公式:

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5、对于x>0,伽马函数是严格凹函数。

6、伽马函数是亚纯函数,在复平面上,除了零和负整数点以外,它全部解析,而伽马函数在-k处的留数为

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标签: 阶乘 集合 复数 数列 伽玛函数

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