矩阵的迹

  • 更新时间: 2018-06-29
  • 来源: 原创或网络
  • 浏览数: 17次
  • 字数: 5683
  • 发表评论

在线性代数中,一个的矩阵(或迹数),是指的主对角线(从左上方至右下方的对角线)上各个元素的总和,一般记作矩阵的迹,by 5lulu.com

矩阵的迹,by 5lulu.com

其中矩阵的迹,by 5lulu.com代表矩阵的第ij列上的元素的值。一个矩阵的迹是其特征值的总和(按代数重数计算)。

迹的英文为trace,是来自德文中的Spur这个单字(与英文中的Spoor是同源词),在数学中,通常简写为“Sp”或“tr”。

设有矩阵:

矩阵的迹,by 5lulu.com

它的迹是:

矩阵的迹,by 5lulu.com = 3 + 9 + 4 = 16

性质

给定一个环,迹是一个从系数在环中的矩阵的空间射到环之上的线性算子。也就是说,对于任两个的矩阵和标量矩阵的迹,by 5lulu.com,都有:

矩阵的迹,by 5lulu.com[2]

更进一步来说,当是一个域时,迹数函数矩阵的空间矩阵的迹,by 5lulu.com上的一个线性泛函。

由于一个矩阵的转置矩阵矩阵的迹,by 5lulu.com的主对角线元素和原来矩阵的主对角线元素是一样的,所以任意一个矩阵和其转置矩阵都会有相同的迹:

矩阵的迹,by 5lulu.com

矩阵乘积的迹数

A是一个矩阵,B是个矩阵的迹,by 5lulu.com矩阵,则:

矩阵的迹,by 5lulu.com[2]

其中是一个矩阵,而是一个矩阵的迹,by 5lulu.com矩阵。

上述的性质可以由矩阵乘法的定义证明:

矩阵的迹,by 5lulu.com

如果都是的方形矩阵,那么它们的乘积也会是方形矩阵。因此,利用这个结果,可以推导出:计算若干个同样大小的方形矩阵的乘积的迹数时,可以循环改变乘积中方形矩阵相乘的顺序,而最终的结果不变[2]。例如,有三个方形矩阵矩阵的迹,by 5lulu.com,则:

矩阵的迹,by 5lulu.com[3]

但是要注意:

矩阵的迹,by 5lulu.com[3]

更一般地,乘积中的矩阵不一定要是方形矩阵,只要某一个循环改变后的乘积依然存在,那么得到的迹数依然会和原来的迹数相同。

另外,如果矩阵的迹,by 5lulu.com是同样大小的方阵而且还是对称矩阵的话,那么其乘积的迹数不只在循环置换下不会改变,而且在所有的置换下都不会改变:

矩阵的迹,by 5lulu.com

标签: 矩阵

我来评分 :6
0

转载注明:转自5lulu技术库

本站遵循:署名-非商业性使用-禁止演绎 3.0 共享协议