群论的创立:两个少年天才的接力

  • 更新时间: 2018-01-16
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我们生活的世界中,美丽的对称无处不在。不过喜欢认死理的数学家,则硬要用他们独特的语言来定义对称。在数学上,对称与群相关联。随着数论、代数方程和几何等研究方向的发展,“群论”这个无比重要的数学领域被开创建立。而这一伟大的贡献,则来自一位英年早逝的数学天才少年。

  • 张天蓉(德克萨斯州大学奥斯汀分校理论物理博士)

美丽的对称无处不在,它在我们的世界中扮演着重要的角色。自然界遍布虫草花鸟,人类社会处处有标志性的艺术和建筑,这些事物无一不体现出对称的和谐与美妙。

几何图形的对称不难理解,当人们说到“故宫是左右对称的”,“地球是球对称的”,“雪花是六角形对称的”,每个人都懂得那是什么意思。不过,数学家们总是喜欢认死理,硬要用他们独特的语言来定义对称。

1 用数学语言定义对称

从数学的角度来看待刚才的几个例子,对称意味着几何图形在某种变换下保持不变。

比如说,故宫的左右对称意味着在镜像反射变换下不变;球对称是说在三维旋转变换下的不变性;雪花六角形对称则是说将雪花的图形转动60、120、180、240、300度时图形不变。所以,对称实际上表达的是事物具有的一种冗余性。没想到吧,“上帝”设计世界时又耍花招偷懒了:利用镜像对称,他只须要设计一半!利用六角形对称,他的雪花图案只须画出六分之一!球对称的天体就更好办了,画出了一个方向的景色,就让它们去绕着一个固定点不停地转圈。

不过,“上帝”的这种偷懒办法让人类欣赏和喜爱,誉之为美。科学家们更是感觉它深奥无比而对其探索不止。他们发明出了一套又一套的理论来描述对称。群论,便是描述对称的一种最好的语言。

用数学语言定义对称的优越性之一在于容易推广。如果将对称概念从几何推广到物理研究中的一般情形,便被表述为:如果某种变换能够保持系统的拉格朗日量不变,从而保持物理规律不变的话,就说系统对此变换是对称的。

物理规律应该在变换中保持不变,这应该是显而易见的。试想,如果今天的某个定律明天就不适用了,或者是麦克斯韦方程只在伦敦适用,搬到北京就不适用了,那还叫做自然规律吗?研究它还有任何意义吗?当然不应该是这样的。

刚才举的例子中,今天到明天、伦敦到北京,这两个概念在数学上都称之为变换。前者叫做时间平移变换,后者叫做空间平移变换。但是,除了平移变换之外,还有许多别的种类的变换,物理定律难道对所有的变换都要保持不变吗?物理规律有很多,至少应该不是每一个规律对每一个变换都将保持不变。那么,这其中有些什么样的关系呢?

首先我们研究一下,与物理定律有关的变换主要有哪几种,又是如何分类的。俗话说:“物以类聚,人以群分”。岂止人是如此,我们所讨论的变换也可以用数学上的“群”来加以分类。所以,变换用来描述对称,群用来描述变换,因此,群和对称,便如此关联起来了。

2 费马小定理与群论

群在数学上是什么意思呢?“群论”的概念来自于多个方面:数论、代数方程、几何。历史上有一个伟大的业余数学家叫费马,说他是业余的,是因为他的本职工作是一个地方上的法官,但他并非一般的“民科”,他在数学和物理上的贡献都非常了不起。

我们在上一篇“大统一理论”系列文章中(回复编号“310”可提取全文)介绍的最小作用量原理,最早也是基于光学中的费马原理,该原理认为光线在空间中总是走最短(或极值)的路径。1637年,费马随便在他阅读的一本书的边沿空白处写下了一个看起来颇像勾股定理的公式:xn+yn=zn,并提出了一个猜想:当n大于2的时候,不可能有整数满足这个等式。更玄乎的是,费马还在旁边加上了短短的一句话,意思是说他已经知道如何证明此公式但是那儿的空间太小写不下……这不是明显在吊别人胃口吗?因此,这个貌似简单的问题,竟让全世界的顶尖数学家们整整忙碌了300多年!这就是著名的费马大定理的故事。此外,费马还提出了一个费马小定理。费马小定理说的是有关质数的问题,可以简单表述如下:假如a是一个整数,p是一个质数,那么(ap-a)是p的倍数。

看了以上定义的费马小定理,大家的感觉也许仍然是云里雾里。不过无所谓,那不是我们的今天讨论的重点,重要的是,这个小定理和群论的发展有点关系。

简单地说,群就是一组元素的集合,在集合中每两个元素之间,定义了符合一定规则的某种乘法运算规则。说到乘法规则,我们大家会想起小时候背过的“九九乘法表”,比如图1a给出的,就是小于5的整数的“四四”乘法表。


图1:4个元素的群


欧拉在1758年证明费马小定理的时候,便碰到了这种类似的乘法表。不过,他将乘法规则稍微作了一些改动。比如在刚才所举小于5的“四四表”例子中,他把表中的所有元素都除以5,然后将所得到的余数构成一个新的表,如图1b所示。按照这种方法,类似于上述n=5的例子,我们可以对任意的n,都如此构造出一个“乘法余数表”来。

我们再仔细研究一下n=5的情况,就发现图1b中的四四余数表有一个有趣的特点:它的每一行都是由(1、2、3、4)这四个数组成的,每一行中四个数全有,但也不重复,只是改变了一下顺序而已。

上面的特点初看起来没有什么了不起,但欧拉注意到,并非对于每一个n用如上方法构成的乘法表都具有这个性质,而是当且仅当n是质数的时候,(n-1)个元素的余数表才具有这个特点。这个有关质数的结论对欧拉证明费马小定理颇有启发。

以现在群论的说法,图1b中的4个元素,构成了一个“群”,因为这4个元素两两之间定义了一种乘法(在这个例子中,是整数相乘再求5的余数),并且,满足群的如下4个基本要求,我们不妨将它们简称为“群4点”:

1.封闭性:两元素相乘后,结果仍然是群中的元素;(从图1b中很容易验证);

2.结合律:(a*b)*c = a*(b*c);(整数相乘满足结合律);

3.单位元:存在单位元(幺元),与任何元素相乘,结果不变;(在上面例子中对应于元素1);

4.逆元:每个元素都存在逆元,元素与其逆元相乘,得到幺元。(从图1b中很容易验证)

3 两位不幸数学家的贡献

欧拉研究数论时,有了群的模糊概念,但“群”这个名词以及基本设想,却是首先在伽罗瓦研究方程理论时被使用的,这涉及到一个年轻数学家的悲惨人生。埃瓦里斯特·伽罗瓦(1811~1832年)是法国数学家,他在短短20年生命中所作的最重要的工作,就是开创建立了“群论”这个无比重要的数学领域。

伽罗瓦从小表现出极高的数学才能,但他厌倦别的学科,独独只被数学的“鬼魅”迷住了心窍,以至于这使他在求学的道路上屡遭失败。他多次寄给法国科学院有关群论的精彩论文,也未被接受:柯西让他重写,泊松看不懂,傅立叶收到文章后还没看就见“上帝”去了。对年轻的伽罗瓦来说,生活的道路坎坷,父亲又自杀身亡,卓越的研究成果得不到学界的承认,由此种下了他愤世嫉俗、不满社会的祸根。后来,法国七月革命一爆发,伽罗瓦急不可待地投身革命,最后又莫名其妙地陷入了一场极不值得的恋爱纠纷中,并且由此卷入一场决斗。最后,这位“愤青”式的天才数学家,终于在与对手决斗时饮弹身亡。

伽罗瓦第一个用群的观点来确定多项式方程的可解性。真是无独有偶,不幸的事情也往往成双。说到方程可解性,又牵扯到另外一位也是年纪轻轻就去世了的挪威数学家尼尔斯·阿贝尔(Niels Abel,1802~1829年)。不过,阿贝尔不是愤青,他在27岁时死于贫穷和疾病。

我们在中学数学中就知道一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式为:

群论的创立:两个少年天才的接力,by 5lulu.com

对于3次和4次的多项式方程,数学家们也都得到了相应的一般求根公式,即由方程的系数及根式组成的“根式解”。之后,人们自然地把目光转向探索一般的5次方程的根式解,但历经几百年也未得结果。因为所有的努力都以失败告终,这使得阿贝尔产生了另外一种想法:也许包括5次方程在内的所有次数大于4的方程,根本就没有统一的根式解。

由于长期得不到大学教职,阿贝尔的生活毫无着落,贫病交加,但他始终不愿放弃心爱的数学。他成功地证明了5次方程不可能有根式解,但他却没有时间将这个结论推广到大于5的一般情形,因为病魔夺去了他短暂的生命。就在可怜的阿贝尔因肺结核而撒手人寰的两天之后,传来了他已经被某大学聘为教授的好消息。

“接力棒”传到了比阿贝尔小9岁的伽罗瓦手上。伽罗瓦从研究多项式的方程理论中发展出了群论,又巧妙地用群论的方法解决了一般代数方程的可解性问题。伽罗瓦的思想大致如此:每一个多项式都对应于一个与它的根的对称性有关的置换群,后人称之为“伽罗瓦群”。图2给出一个简单置换群S3的例子。一个方程有没有根式解,取决于它的伽罗瓦群是不是可解群。那么,可解群又是什么样的呢?这些概念大大超出了本文讨论的范围,在此不表,有兴趣者可参阅相关文献。



图2:置换群例子S3


简单解释一下图2的置换群例子S3。给了三个字母ABC,它们能被排列成如图2a右边的6种不同的顺序。也就是说,从ABC产生了6种置换构成的元素。这6个元素按照生成它们的置换规律而分别记成(1)、(12)、(23)……括号内的数字表示置换的方式,比如(1)表示不变;(12)的意思就是第1个字母和第2个字母交换等等。不难验证,这6个元素在图2b所示的乘法规则下,满足上面谈及的定义“群4点”,因而构成一个群。这里所谓“乘法”不是通常意义上整数间的乘法,而是两个置换方式的连续操作。图2b中还标示出S3的一个特别性质:其中定义的乘法是不可交换的。如图2b所示,(12)乘以(123)得到(13),而当把它们交换变成(123)乘以(12)时,却得到不同的结果(23),因此,S3是一种不可交换的群,或称之为“非阿贝尔群”。而像图1所示的4元素的可交换群,被称之为“阿贝尔群”。S3有6个元素,是元素数目最小的非阿贝尔群。

图1和图2描述的,是有限群的两个简单例子。群的概念不限于“有限”,其中的“乘法”含义也很广泛,只需要满足群4点即可。

如果你还没有明白什么是“群”的话,那就再说通俗一点(做数学的大牛们偶然路过看见了请不要皱眉头):“群”就是那么一群东西,我们为它们两两之间规定一种“作用”,见图3的例子。两两作用的结果还是属于这群东西;其中有一个特别的东西,与任何其它东西作用后都“不起作用”;此外,每样东西都有另一个东西和它抵消;最后,如果好几个东西接连作用,只要这些东西的相互位置不变,结果与作用的顺序无关。



图3:各种操作都可以被定义为“群”中的乘法,只要符合“群4点”。


刚才所举两个群的例子是离散的有限群。下面举一个离散但无限的群。比如说,全体整数(……,-4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,……)的加法就构成一个这样的群。因为两个整数之和仍然是整数(封闭性),整数加法符合结合律;0加任何数仍然是原来那个数(0作为幺元),任何整数都和它的相应负整数抵消(比如:-3是3的逆元,因为3+(-3)=0)。

但是,全体整数在整数乘法下却并不构成“群”。因为整数的逆不是整数,而是一个分数,所以不存在逆元,违反“群4点”,不能构成群。

全体非零实数的乘法构成一个群。但这个群不是离散的了,是由无限多个实数元素组成的连续群,因为它的所有元素可以看成是由某个参数连续变化而形成。两个实数相乘可以互相交换,因而这是一个“无限”“连续”的阿贝尔群。

可逆方形矩阵在矩阵乘法下也能构成无限的连续群。矩阵乘法一般不对易,所以构成的是非阿贝尔群。

连续群和离散群的性质大不相同,就像盒子里装的是一堆玻璃弹子,或装的是一堆玻璃细沙不同一样,因而专门有理论研究连续群。因为连续群是n个连续变量之变化而生成的,这n个变量同时也张成一个n维空间。如果一个由n个变量生成的连续群既有群的结构,又是一个n维微分流形,便称之为“李群”,是以挪威数学家索菲斯·李(Sophus Lie,1842~1899年)的名字而命名。李群对理论物理很重要,“大统一理论”系列下一篇中,我们从与物理密切相关的几个例子出发来认识李群。

参考资料

[1]S. Sternberg ,Group Theory and Physics,CambridgeUniversity Press,Cambridge, September29, 1995。

[2]Morton Hamermesh,Group Theoryand Its Application to Physical Problems (Dover Books on Physics),December1, 1989。

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